О поправке на число наблюдений при расчете расстояний Махаланобиса

Аннотация

Введение. Расстояния Махаланобиса (D²) применяются в краниологических исследованиях для обобщенной оценки различий между выборками с учётом дисперсии признаков и корреляций между ними. При этом выборочные расстояния, особенно в случае небольшого размера выборок, в среднем демонстрируют смещение в сторону завышенных значений по сравнению с истинной величиной D². Внесение поправки на число наблюдений, предложенная Д. Райтмайром, является одним из простых способов компенсации этого смещения. Однако условия ее применения и даже способы расчета переменных могут различаться в зависимости от особенностей выборки. Цель данного исследования состоит в оценке эффективного влияния поправки на величину расстояний Махаланобиса и поиске подходов к снижению смещения выборочных оценок.

Материалы и методы. В анализе использованы три обобщенные серий мужских черепов башкир, чувашей и латышей. Для расчета D² применялась усредненная ковариационная матрица. Были рассмотрены три метода вычисления расстояний Махаланобиса: без поправки на число наблюдений, с поправкой Д. Райтмайра, примененной ко всем расстояниям, и с поправкой, учитывающей только статистически значимые расстояния. Кроме того, протестированы альтернативные подходы к внесению поправки при резких различиях в числе наблюдений отдельных признаков: использование среднего гармонического числа наблюдений и раздельное вычисление расстояний D² для линейных и угловых признаков с последующим суммированием.

Результаты. Поправка Д. Райтмайра, применяемая ко всем расстояниям, в среднем позволяет получать достаточно точные несмещенные оценки D². При внесении поправок величина D² может оказаться близкой к нулю или даже отрицательной, в т.ч. при наличии значимых различий между популяциями. Поскольку медианы выборочных D² в наибольшей степени сближаются с истинными значениями D², все отрицательные значения D² могут без ущерба для расчетов преобразованы в нули. Выборочное D²=0 необязательно означает, что между выборками отсутствуют морфологические различия. Для приближения к истинному значению расстояния между выборками можно воспользоваться вычислением доверительных интервалов, например, при помощи процедуры бутстрэппинга.

Заключение. Поправка Д. Райтмайра позволяет получать несмещенные оценки расстояний Махаланобиса при использовании усредненной ковариационной матрицы и небольших размерах выборок. Однако выбор конкретного метода коррекции должен учитывать размер выборок и вариативность числа наблюдений по разным признакам. При работе с сериями черепов плохой сохранности в поправке целесообразно использовать среднее гармоническое число наблюдений или раздельный расчет расстояний для угловых и линейных признаков.

Литература

Гончаров И.А., Гончарова Н.Н. Программа MultiCan для анализа многомерных массивов данных с использованием статистик выборок и параметров генеральной совокупности (MultiCan). Свидетельство о регистрации прав на ПО №2016610803, М., 2016.

Козинцев А.Г. Скифы Северного Причерноморья: межгрупповые различия, внешние связи, происхождение // Археология, этнография и антропология Евразии, 2007. №32 (4). С. 143–157.

Козинцев А.Г. О ранних миграциях европеоидов в Сибирь и Центральную Азию (в связи с индоевропейской проблемой) // Археология, этнография и антропология Евразии, 2009. №40 (4). С.125–136.

Широбоков И.Г., Моисеев В.Г., Козинцев А.Г., Хартанович В.И. Чистов Ю.К., Громов А.В. Индивидуальные краниометрические данные близких к современности групп населения Восточной и Северо-Восточной Европы. Электронное издание. СПб.: МАЭ РАН, 2017.

 Rightmire G.P. On the computation of Mahalanobis’ generalized distance (D²). American Journal of Physical Anthropology, 1969, 30, pp. 157–160.

Sjøvold T. Some notes on the distribution and certain modifications of Mahalanobis generalized distance. Journal of Human Evolution, 1975, 4, pp. 549–558.